La herramienta mágica en matemáticas para calcular cosas que se acumulan o el tamaño de áreas complicadas

¿Cómo calculas el área de un cuadrado o un rectángulo? Es fácil, ¿verdad? Base por altura.

¿Y el área de un círculo? Hay una fórmula para esto, también fácil.

Pero, si, siempre hay un pero,

  ¿y si tuvieras una forma extraña, con curvas, como una mancha de pintura irregular? 

¿Cómo calculas su área exacta? ¡Ah Verdad!

 Ahí es donde entran las integrales.

La Idea Principal

Imagina que tienes la mencionada mancha y quieres saber qué área ocupa. ¿para qué quieres saberlo? no sé, pero eres tan curioso que, si no sabes cual es el área, no podrás dormir. ¿Como le harías?

Se te ocurre dividir la mancha en pedacitos iguales en forma de cuadrados, calculas el área de cada uno y los sumas y ya, así de fácil sabes el área (Guiño, Guiño) 

Pues eso es lo que hace una integral, hace los cuadrados tan pero tan pero tan pequeñitos que abarcan toda la mancha, como cuando viertes arena bien fina en un frasco y prácticamente no queda ningún espacio vacío, pues así son tan delgaditos los cuadrados que casi son solo un puntito, son infinitamente pequeños.

Entonces, la integral calcula el área de cada uno de esos cuadraditos diminutos y luego los suma todos.

Hacerlo "infinitamente" pequeño es la magia de las integrales es que no solo lo hace "muy" pequeños, sino infinitamente pequeños. Esto significa que la suma de esos pedacitos te da el área exacta de la forma irregular hecha por la mancha y no deja ningún hueco o sobra.

Ejemplos Cotidianos (del día a día pues)

Acumular cosas.

Conocer la distancia: Si sabes qué tan rápido vas en cada momento (tu velocidad), la integral te ayuda a calcular la distancia total que has recorrido. Es como si fueras sumando cada pequeño tramo de distancia que avanzas en cada instante.

Cuanta agua: Si sabes la cantidad de agua que fluye por un tubo en cada segundo, la integral te diría la cantidad total de agua que ha llenado una cubeta en cierto tiempo.

Calcular volúmenes (como rebanar un pastel)

Si tienes un pastel con una forma rara (no un cilindro perfecto), la integral te ayuda a calcular su volumen. Imagina que cortas el pastel en rebanadas súper delgaditas, infinitamente delgadas y sumas el volumen de cada rebanada y ¡tarán! ya sabes el volumen del pastel.

¿Para qué sirven en la vida real?

Las integrales son súper importantes en muchas áreas:

• Ingeniería: Para diseñar puentes (calcular la fuerza que soporta una viga), construir coches (optimizar la forma aerodinámica), etc.
• Física: Para calcular el trabajo que hace una fuerza, la energía, el flujo de fluidos, etc. (como el ejemplo de la distancia y la velocidad).
• Economía: Para calcular el excedente del consumidor o del productor, el flujo de dinero a lo largo del tiempo.
• Medicina: Para analizar el flujo sanguíneo o la concentración de medicamentos en el cuerpo.
• Computación gráfica: Para crear efectos visuales realistas, calcular cómo se distribuye la luz en una escena.

En Resumen.