Los Límites
El lenguaje
del infinito
Límites de una función · Teoremas · Límites unilaterales · Límites infinitos
¿Qué pasa si me acerco
pero nunca llego?
↺ toca las tarjetas · despliega los acordeones · explora la actividad
de la pared ↺ toca para revelar
"Cada paso avanzas la mitad de lo que te queda.
¿Cuándo llegas? Nunca.
Pero… ¿a dónde te acercas?"
cotidiana ↺ toca para revelar
Un auto frena antes de la señal. ¿Cuál es su velocidad exactamente en el instante en que se detiene? No es un promedio… es un límite.
El cálculo inventó los límites para hablar de qué pasa cuando algo se acerca sin llegar. Toda la derivada y la integral se construye sobre esta idea.
Si puedes entender lo que ocurre en el borde — en el instante exacto, en el punto exacto — puedes entender el movimiento, el cambio y la acumulación.
Si f(1) no existe, ¿podemos saber a qué valor se acerca f(x) cuando x → 1?
Discutan en equipos antes de continuar…
La temperatura se acerca a la del cuarto. Nunca llega a 0 absoluto, pero tiene un límite claro.
A mayor altura, la gravedad se acerca a 0. Nunca es exactamente cero, pero se aproxima.
La señal de radio se debilita con la distancia. Se acerca a 0 pero nunca desaparece del todo.
¿Qué ocurre si dividimos una unidad infinitamente? Avanza paso a paso…
¿Qué es el límite de una función?
| x | f(x) | ¿Cerca? |
|---|
Las reglas del juego
Así como hay reglas para operar fracciones, existen 5 teoremas que permiten calcular casi cualquier límite. Toca una tarjeta para ver la demostración.
lím f ± lím g
lím f · lím g
lím f / lím g
x → 2
¿Desde qué lado me acerco?
El límite bilateral existe si y solo si:
lím⁻ = lím⁺
Cuando el valor explota o se aplana
"A mayor altura, la gravedad se acerca a cero… nunca llega, pero tiene un límite."
x crece sin parar — 100, 1000, 1 000 000…
Nunca "llega" al infinito, pero preguntamos:
¿hacia dónde se acerca f(x)?
1/1000000 = 0.000001
→ lím 1/x = 0
x se acerca a cero — 0.1, 0.01, 0.001…
El denominador se hace minúsculo y f(x) "explota" hacia infinito.
1/0.001 = 1000
→ lím 1/x = ±∞
La función se "aplana" y se acerca a la recta y = L a medida que x crece.
Precio mínimo de producción de un artículo — al fabricar millones de unidades el costo por pieza se aplana hacia un valor fijo: esa recta es la asíntota.
La función "explota" cuando x se acerca a un punto donde el denominador es cero.
Intensidad del sonido cerca de la fuente — conforme te acercas (x→0), el volumen "explota" hacia infinito. Imposible estar en x = 0.
Compara grado numerador m vs. denominador n:
m = n → lím = aₘ/bₙ
m > n → lím = ±∞
lím (3x²+1)/(x²−1) → m=n=2
= 3/1 = 3 · asíntota en y=3
Los límites infinitos son la forma en que el cálculo describe comportamientos extremos: cosas que crecen sin control o que se estabilizan para siempre.
Cuando x → ∞ y f(x) → L, estamos diciendo: "a largo plazo, este sistema siempre converge aquí". Es la temperatura de equilibrio, el precio de mercado estable, la velocidad terminal de caída.
Cuando x → a y f(x) → ±∞, estamos describiendo un punto de quiebre: donde el modelo ya no puede sostenerse, donde algo explota — la intensidad del sonido, la presión en un punto, la densidad en un agujero negro.
En todos los casos, el límite no es un cálculo frío — es una pregunta sobre el destino del sistema.
Hora de poner a prueba lo aprendido
Toca cada ejercicio para revelar la solución paso a paso
= 2(2)² − 3(2) + 1
= 2(4) − 6 + 1
= 8 − 6 + 1
= 3 ✓
✅ La función es un polinomio → siempre se puede sustituir directamente.
Factorizar: (x²−4)/(x−2) = (x+2)(x−2)/(x−2)
Cancelar: = (x+2) (con x ≠ 2)
lím (x+2) = 2+2
= 4 ✓
✅ El hoyo en x=2 no impide que el límite exista.
|x|/x = −x/x = −1 → lím⁻ = −1
Lado derecho (x → 0⁺): x > 0 → |x| = x
|x|/x = x/x = +1 → lím⁺ = +1
lím⁻ ≠ lím⁺ → El límite NO existe ✗
Regla: lím = coeficiente líder num / coeficiente líder den
= 3 / 1
= 3 ✓
✅ Asíntota horizontal en y = 3.
Todo conectado
Que f(x) se acerca a un valor fijo L cuando x se aproxima a un punto, sin importar si la función está definida ahí o no.
x se acerca a a desde valores menores (por la izquierda). Se escribe lím⁻. Solo considera lo que pasa antes del punto.
x se acerca a a desde valores mayores (por la derecha). Se escribe lím⁺. Solo considera lo que pasa después del punto.
Cuando lím⁻ = lím⁺ = L. Ambos lados se acercan al mismo valor. La función puede tener un hoyo en ese punto y el límite aún existe.
Cuando lím⁻ ≠ lím⁺, o cuando la función oscila sin acercarse a ningún valor, o cuando se dispara hacia ±∞ por ambos lados.
Eso es continuidad — la función no tiene saltos ni hoyos.
Tu turno — reflexión y ejercicios
Determina si el límite existe. Si existe, indica su valor. Si no existe, explica por qué.
Calcula el valor exacto del límite aplicando los teoremas y técnicas vistas en clase.
"El límite no pregunta si llegaste —
pregunta a dónde te diriges."